Dx of Calculus (2): de la serie a la teoría de funciones

La última vez presentamos brevemente el concepto de «infinitamente pequeño», y esta vez retrocederemos en el tiempo y veremos la aparición del cálculo unos 100 años después de que se acabara de inventar, y el concepto de «límites» que nació 100 años después. Y, al mismo tiempo, cuestionó el pensamiento de «función».

Autor |Li Longxin

● Cálculo en los siglos XVII y XVIII

Después de la invención del cálculo a mediados del siglo XVII, muchos problemas no resueltos obtuvieron grandes avances. Por ejemplo, en términos de geometría, solo podemos abordar el problema de las curvas cuadráticas, pero el cálculo también es útil para otras curvas. Después de abordar estos problemas, hay muchas curvas que se pueden escribir como series de potencias; en términos simples, los polinomios se convierten en polinomios infinitos. P.ej:

Newton debe usar el cálculo para clasificar curvas cúbicas, que pueden manejar polinomios infinitos, ¡qué emocionante! No es de extrañar que Brook Taylor (1685-1731) quiera convertir todas las funciones en una serie de potencias, y esta serie de potencias se llama expansión de Taylor:

Por cierto, Leonhard Euler (1707-1783) tiene una visión única sobre la suma de infinitos números. La serie de potencia se puede variar en sus manos e incluso se puede factorizar.

Pero las series de potencia no son tan hermosas.Por ejemplo, conocemos la fórmula de series geométricas

Euler notó que las siguientes inferencias (sustituyendo r = n y r = 1 / n respectivamente) no eran razonables:

Guido Grandi (1671─1742) también notó que al sustituir r = -1 en la serie geométrica se obtendrá

Estos pocos ejemplos muestran que debemos tomar las operaciones de funciones más en serio.

 

● Límite

No tenemos ningún problema en usar números finitamente pequeños como denominadores y sumar un número finito de números, pero los números infinitamente pequeños como denominadores y sumar un número infinito de números son intrínsecamente problemáticos. Volviendo a Gran Bretaña en el siglo XVIII, dos escuelas de académicos dirigidas por James Jurin (1684-1750) y Benjamin Robins (1707-1751) basadas en el «límite» propuesto por Newton ( La forma embrionaria del límite) inició una guerra de plumas, que puede afectar a las generaciones futuras. En el lado europeo, Jean-le-Rond d’Alembert (1717-1783) utilizó «límites» para reinterpretar la diferenciación. Por ejemplo, hay dos puntos (x, f (x)) y (x + Δx, f (x + Δx)) en la curva y = f (x), y la línea recta obtenida al conectar los dos puntos se llama línea secante . Cuando Δx es menor, la línea recta está más cerca de la línea tangente de (x, f (x)), y la pendiente de la línea secante también está más cerca de la pendiente de la línea tangente, y la pendiente de la línea tangente es la derivada.

Figura 1: Secante y tangente. Fuente de la imagen: «Introducción al cálculo y análisis». Por R. Courant y F. John. Primera edición (1989). Publicado por Springer-Verlag (Nueva York / Berlín / Heidelberg)

Simular el dx infinitamente pequeño a partir del Δx finito es el «límite». La relación correspondiente se puede ver en la fórmula:

En el siglo XIX, Augustin Cauchy (1789─1857) explicó además que para facilitar la aplicación en la prueba, debemos asumir que sabemos a qué número está cerca la pendiente de la secante, y luego llamar a este número El límite de la pendiente secante. D’Alembert y Cauchy usaron palabras para describir el límite, lo que resultó un poco confuso. Más tarde, el «lenguaje ε-δ» inventado por Karl Weierstraß (1815-1897) fue más conciso pero con el mismo espíritu.

En cuanto a la integral, regrese al método original y use el área rectangular para estimar el área de la gráfica. El ancho del rectángulo es ΔxNota 1, y la altura es tan alta como el extremo izquierdo de cada pequeña curva, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 2: Suma de Riemann.
Fuente de la imagen: «Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal». Por H. Keisler. Revisado en septiembre de 2019. Gratis públicamente disponible en línea. Sitio web: http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html. También hay una edición impresa: la tercera edición (2012). Dover Publishing (Nueva York).

Cuando Δx es finitamente pequeño y los rectángulos son finitos muchos, la suma del área se llama suma de Riemann. Cuando el corte se vuelve más delgado, el límite de la suma de Riemann es el área debajo de la curva. Puede expresarse como:

De manera similar, Δx finitamente pequeño se usa para simular dx infinitamente pequeño.

● Teoría de funciones

El significado de las funciones experimentó un cambio importante del siglo XVIII al XIX. La función original simboliza el «método de cálculo», que debe ser «calculado». Más tarde, se descubrió que si la función se puede calcular, o incluso describir, parece no tener nada que ver con la capacidad de hacer cálculo. Por tanto, es necesario volver a examinar la parte del cálculo. Por ejemplo, las siguientes dos preguntas:

1. ¿Es la suma del infinito realmente un número? ¿Qué funciones son series de potencia?

¿Por qué quieres hacer esta pregunta? Porque Cauchy encontró una función cuya expansión de Taylor es 0 pero la función original no es 0:

Entonces esta función no es una serie de potencias.

Serie de potencia

En otras palabras, cuando | xa | es menor, apuesta 2, más posibilidades hay de que la suma sea limitada, y Cauchy demostró que sí. Usando la prueba de la raíz de Cauchy, se puede encontrar el radio de convergencia. Cuando | xa | es más pequeño que el radio de convergencia, se puede tratar como una función y el cálculo se puede realizar utilizando el método del siglo XVIII. Por el contrario, cuando | xa | es igual al radio de convergencia, el problema de que la suma es infinita debe encontrarse en algunos puntos.

2. ¿Qué función se puede integrar?

Después de que Cauchy usó por primera vez el límite para describir la integral, Bernhard Riemann (1826-1866) pensó que no había razón para usar el punto final izquierdo. Solo se puede integrar cuando se alcanza el límite. Luego hay muchos más intentos de mejorar, principalmente: Henri Lebesgue (1875-1941), Thomas Stieltjes (1856-1894), John Ladong (Johann Radón, 1887─1956). La función de «capacidad de integración» de cada teoría es ligeramente diferente.

Estos dos temas también se han convertido en el comienzo de un análisis complejo y un análisis real, respectivamente.

anotación:
[1] En la definición de Cauchy y Riemann, los anchos de los rectángulos no tienen que ser iguales, pero todos deben reducirse a 0 al tomar el límite.
[2] Las dos marcas rectas son los valores absolutos de los números complejos.

Referencia
[1] «Una historia de las matemáticas». Por F. Cajori. Segunda edición (1961). Publicado por Macmillan (Nueva York).
[2] «Una historia de las matemáticas». Por U. Merzbach y C. Boyer. Tercera edición (2011). Publicado por Wiley (Nueva Jersey).
[3] «La galería de cálculo: obras maestras de Newton a Lebesgue». W. Dunham. Primera edición (2005). Publicado por Princeton University Press (Nueva Jersey).
[4] . Enciclopedia Británica. Público en Internet. Sitio web: https://www.britannica.com/topic/Newton-and-Infinite-Series-1368282


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