Dx of Calculus (1): Decimales infinitos y análisis no estándar

En el siglo XVII, Newton y Leibniz inventaron el cálculo. Entre ellos, el «símbolo integral» ∫ de Leibniz y la «diferencia muy pequeña» dx todavía se utilizan en la actualidad. Los libros de texto actuales usarán «límites» para explicar, por lo que algunas personas dicen que dx es solo un símbolo y no requiere un significado sustancial. Ambos puntos de vista tienen su significado e importancia. Este artículo se dividirá en varios números para explorar el alma del cálculo desde diferentes puntos de vista y la aplicación de cada punto de vista.

Autores | Li Longxin

● Por qué el cálculo

Desde la antigüedad, los matemáticos han sabido que todas las cosas de la naturaleza son difíciles de medir y que no son tan simples como círculos, polígonos y elipses. Por supuesto, podemos tomar una regla y comenzar a ser pacientes. Por ejemplo, Arquímedes (Αρχιμήδης ο Συρακούσιος), Liu Hui, la técnica de circuncisión de Seki Takawa (Seki Takawa) y, por ejemplo, la tabla de funciones trigonométricas de Babilonia, Es un modelo y pionero de la medición. Aunque la fuerza humana y la esperanza de vida inevitablemente dejarán errores, siempre que estemos dispuestos a medir varias veces, podemos reducir el error. Entonces, el error ideal es «número infinitesimal», en oposición al número infinitesimal. En el siglo XVII, René. Descartes (René Descartes) inventó la geometría analítica, una vez más lideró la discusión de los decimales infinitos. Este tema se llama «análisis» o «análisis matemático». Finalmente en el mismo siglo, Isaac. Newton (Isaac Newton), Goth Fred. Leibniz (Gottfried Leibniz) estableció la base de la analítica. Por eso son venerados como los inventores del cálculo.

● Infinito e infinitamente pequeño

El concepto de «infinito» es demasiado difícil de describir, pero también es fascinante por eso. ¿Qué es «infinito»? ¿Qué es infinito menos uno? ¿Qué es infinito menos infinito? «Infinitamente grande» es bastante difícil, pero «infinitamente pequeño» es aún más difícil. Podemos imaginar que hay un final donde no se puede ver la recta numérica, donde el número se llama infinito. Infinitamente pequeño pero desapareció ante nuestros ojos de forma abrupta. La posición de infinitesimal en la recta numérica debe ser exactamente la misma que 0, ¡pero infinitesimal no es 0!

● Números súper reales

Cuando se inventó el cálculo, todavía se describía en infinitesimal, por lo que era muy difícil de entender. A principios del siglo XIX, el concepto de «límite» se desarrolló a partir de la teoría de Leibniz. Esto anuló discusiones previas y descartó ideas infinitamente pequeñas. En el mismo siglo, después del desarrollo de la lógica, la ola de persecución rigurosa convirtió al infinitesimal en el palacio frío.

Hasta la década de 1960, Abraham. Abraham Robinson usó la lógica para demostrar la Nota 2 que los números reales se pueden «expandir» sin ninguna contradicción. En comparación con la ya popular teoría del límite, la teoría infinitesimal renacida se llama «análisis no estándar». Robinson usó R para representar números reales, * R significa números reales expandidos, también conocidos como números hiperreales. Cualquier proposición lógica de primer orden que se mantenga en R también se mantendrá en * R. P.ej:

. Tiene cuatro operaciones aritméticas. (Se pueden sumar, restar, multiplicar dos números cualesquiera; si el segundo número no es 0, puede dividir)

. Se pueden comparar dos números cualesquiera, y la suma y la multiplicación de números positivos mantienen la relación de magnitud.

En * R, el número que es más grande que todos los números reales Nota 3 es infinito positivo; un número más pequeño que todos los números reales es infinito negativo; el número entre dos números reales es un número finito (incluidos los decimales infinitos) ; Un número que es más pequeño que todos los números reales positivos y más grande que todos los números reales negativos. Nota 3 es infinitamente pequeño (incluido el 0). Intuitivamente, no hay contradicción en las reglas de operación.

En las teorías de Newton y Leibniz, hay pasos para omitir infinitos decimales. Este teorema se puede explicar en * R:

. Cualquier número finito x se puede dividir unívocamente en la suma de un número real y un decimal infinito. El número real se denota como st (x), que se denomina parte estándar de x.

Figura 1: El resultado de cualquier número real más un decimal infinito está cerca del número real original.Fuente de la imagen: misma referencia[4], Capítulo 1, Sección 4.

En cuanto a la función continua, la diferenciación y la integral se pueden definir de la siguiente manera: Nota 4

. Si st (x) = c, entonces st (f (x)) = f (c), entonces f (x) es continua en c.

.Dado un decimal infinito dx ≠ 0, la derivada de f (x) en x = c se define como (Si el resultado no tiene nada que ver con nuestro dx elegido, se puede diferenciar)

. ω es un entero infinito Nota 5, a = x0 <ξ1 Nota 6 (se pueden integrar funciones continuas)

Robinson reinterpretó muchos resultados existentes de esta manera Se puede decir que todos los temas relacionados con los números reales están cubiertos.

● Desarrollo

Este logro simplemente proporciona un punto de vista interesante, por lo que también hay partidarios, algunos de los cuales han simplificado ligeramente la parte teórica. Es solo que la crítica es naturalmente indispensable, como: usando el axioma de elección, la lógica es demasiado esotérica, incapaz de construir, etc. El desarrollo de las matemáticas nunca ha consistido en cerrar la brecha entre diferentes puntos de vista, sino en utilizar varios puntos de vista para resolver problemas.

anotación:

[1] Posteriormente, los dos se acusaron mutuamente de plagio, puedes referirte a «Quién es la víctima».
[2] Necesidad de reconocer el axioma de elección.
[3] Tenga en cuenta que el infinito no es un número. Hay muchos de esos números (infinitos). Infinitamente pequeño también.
[4] En los dos primeros, f (x) es una función en el intervalo abierto (a, b); el último está en el intervalo cerrado [a,b] Arriba; a [5] Es una extensión de un entero positivo, ver referencias[4], Capítulo 3 Sección 8.
[6] Trate la acción de «sumar» como una función y luego expanda esta función hasta el infinito.

Materiales de referencia:

[1] «Una historia de las matemáticas». Por F. Cajori. Segunda edición (1961). Publicado por Macmillan (Nueva York).
[2] «Análisis no estándar». Por A. Robinson. Primera edición (1966). Publicado por North-Holland (Amsterdam).
[3] «Conferencias sobre los hiperreal: una introducción al análisis no estándar». Por R. Goldblatt. Primera edición (1998). Publicado por Springer-Verlag (Nueva York / Berlín / Heidelberg).
[4] «Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal». Por H. Keisler. Revisado en septiembre de 2019. Gratis públicamente disponible en línea. Sitio web: http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html. También hay una edición impresa: la tercera edición (2012). Dover Publishing (Nueva York).


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